在离婚财产分割中，该房屋若属于夫妻共同财产，夫妻双方有权协商如何处置。母亲放弃房子，意味着她将自己在房屋中的权益让渡出来，其放弃后房屋的归属可以由父母双方协商确定。他们可以约定将房子给儿子，这属于赠与行为；但也可以约定房子归父亲一方所有，或者按照其他双方认可的方式处理。 如果双方无法协商一致，可诉至法院，由法院根据财产的具体情况，按照照顾子女、女方和无过错方权益的原则判决，此时房屋也不一定会给到儿子。

母亲争取孩子抚养权，可从以下方面着手。两周岁以内的孩子，原则上随母亲生活。对于两周岁以上未成年子女，母亲要证明自身抚养更有利孩子成长。比如有稳定收入和居住环境，能为孩子提供良好生活、教育条件；证明孩子长期随自己生活，改变生活环境对其成长不利；若孩子年满八周岁，应争取孩子意愿，让其表达愿随母亲生活。此外，若父亲有不良嗜好、患有严重疾病或其他不宜抚养孩子的情形，母亲可收集相关证据，以此说明由自己抚养孩子更合适。法院会按照最有利于未成年子女的原则判决抚养权归属。